Разгледай поотделно трите случая: изтеглени 3 бели, 3 черни или 3 зелени. За всеки — използвай биномиално число. После сумирай и раздели на общия брой начини да избереш 3 топки от 18.

Имаме: 4 бели топки 6 черни топки 8 зелени топки

Общо: $$4 + 6 + 8 = 18$$ топки

Изваждат се 3 топки едновременно, на случаен принцип, без връщане.

🔹 Цел: Да намерим вероятността трите изтеглени топки да са с еднакъв цвят

🔸 Стъпка 1: Общ брой начини да изберем 3 топки от 18: $$ \binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6} = 816 $$

🔸 Стъпка 2: Благоприятни случаи (3 топки от един и същи цвят)

✅ 3 бели: $$ \binom{4}{3} = 4 $$

✅ 3 черни: $$ \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20 $$

✅ 3 зелени: $$ \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56 $$

🔸 Общо благоприятни случаи: $$ 4 + 20 + 56 = 80 $$

📊 Вероятност: $$ P = \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51} $$

✅ Отговор: $$ \boxed{\frac{5}{51}} $$

Помисли кои от четирицифрените числа със зададените цифри са валидни – числата не могат да започват с 0, тъй като тогава няма да са четирицифрени.

Използвай знанието, че цифрите не трябва да се повтарят, и прецени на колко позиции можеш да избираш от дадените цифри.

Помисли за пермутации с ограничения – т.е. в колко начина можеш да подредиш 4 различни цифри, при условие че първата не е 0.

Имаме дадени цифрите: $$ \{0, 2, 4, 7\} $$ Търсим колко различни четирицифрени числа могат да се съставят от тези цифри, без повтарящи се цифри.

🔸 Стъпка 1: Брой пермутации на 4 различни цифри Имаме точно 4 различни цифри ⇒ Всички пермутации на тези 4 цифри дават 4-цифрени числа, но не всички започват с различна от 0.

🔸 Стъпка 2: Изключваме числата с водеща 0 Общ брой пермутации на 4 различни цифри: $$ 4! = 24 $$ Но не може число да започва с 0 (тогава то няма да е четирицифрено), затова изключваме тези, при които първата цифра е 0. Колко такива има?Ако 0 е първата цифра, останалите 3 могат да се подредят по: $$ 3! = 6 \text{ начина} $$

✅ Брой валидни четирицифрени числа: $$ 4 – 3! = 24 – 6 = \boxed{18} $$

✅ Отговор: С цифрите 0, 2, 4 и 7 могат да се запишат 18 различни четирицифрени числа без повтарящи се цифри.

За да намерим броя на различните четирицифрени числа без повтарящи се цифри, които могат да се запишат с цифрите 0, 2, 4 и 7, трябва да вземем предвид следните условия:

1. Числата не могат да започват с нула.

2. Всяка цифра може да се използва само веднъж във всяко число.

Разглеждаме стъпка по стъпка:

1. Избор на първа цифра: Първата цифра не може да бъде 0, защото иначе числото няма да е четирицифрено. – Така че имаме възможността да изберем между 2, 4 и 7. Това означава, че имаме 3 опции за първата цифра.

2. Избор на втора цифра: След като сме избрали първата цифра, остават ни 3 цифри (включително 0). Така че имаме 3 опции за втората цифра.

3. Избор на трета цифра: След като сме избрали първите две цифри, остават ни 2 цифри. Така че имаме 2 опции за третата цифра.

4. Избор на четвърта цифра: След като сме избрали първите три цифри, остава ни само една цифра. Така че имаме 1 опция за четвъртата цифра.

Умножавайки броя на възможните избори за всяка позиция, получаваме общия брой на различни четирицифрени числа: \[ 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18 \]

Можем да съставим 18 различни четирицифрени числа без повтарящи се цифри с цифрите 0, 2, 4 и 7.