Нека решим задачата стъпка по стъпка:

🔷 Дадено:
В танцовата група има: 8 момичета и 2 момчета. Търсим броя на групи от 3 танцьори, в които има поне едно момче.

🔶 Подход:
Ще използваме противоположното събитие. Искаме да изключим групите, които не съдържат момчета, т.е. трябва да намерим броя на групите само с момичета.

1. Общо възможни групи от 3 души (без ограничения):
$$ \binom{10}{3} = 120 $$

2. Невалидни групи (само момичета, т.е. 0 момчета):
$$ \binom{8}{3} = 56 $$

🔸 Тогава броят на групите с поне 1 момче е: $$ 120 – 56 = \boxed{64} $$

✅ Отговор: 64 различни начина.

За да има поне едно момче в групата от 3 танцьори, можем да изберем или 1 момче и 2 момичета, или 2 момчета и 1 момиче.

За 1 момче и 2 момичета имаме
Избираме 1 момче от 2 възможни момчета: $$\binom{2}{1} = 2$$ начина.
Избираме 2 момичета от 8 възможни момичета: $$\binom{8}{2} = 28$$ начина.
Общ брой начини за 1 момче и 2 момичета: $$2 \cdot 28 = 56$$

За 2 момчета и 1 момиче имаме
Избираме 2 момчета от 2 възможни момчета: $$\binom{2}{2} = 1$$ начин.
Избираме 1 момиче от 8 възможни момичета: $$\binom{8}{1} = 8$$ начина.
Общ брой начини за 2 момчета и 1 момиче: $$1 \cdot 8 = 8$$
Следователно, общият брой начини за група от 3 танцьори с поне едно момче е $$56 + 8 = 64$$.

Окончателният отговор е 64.

При задачи, съдържащи следните въпроси: „… най-малко един“, „… поне един“ е по-лесно да се разгледа противоположното събитие, т.е. „… нито един“.

Следва да се приложи формулата за пълната вероятност $$ P(A) = 1 – P(A’)$$