Да решим задачата стъпка по стъпка:

🔷 Дадено: Търсим трицифрени числа с: различни четни цифри сбор на цифрите = 12. От тях се избира произволно едно.

🔷 Търсим вероятността то да се дели на 15

🔶 Ключови наблюдения:
Четни цифри са: {0, 2, 4, 6, 8} ⇒ 5 възможни
Използваме 3 различни четни цифри и сборът на цифрите трябва да е 12
Полученото число трябва да е трицифрено ⇒ първата цифра ≠ 0
Търсим делимост на 15 ⇒ делимост на 3 и на 5

🔹 Стъпка 1: Намерим всички тройки от различни четни цифри със сбор 12 Изброяваме всички възможни комбинации (без повторения), чиито елементи са от {0,2,4,6,8}, по 3 наведнъж, със сбор 12:

Переброяване: Използваме всички възможни комбинации от 3 различни числа от множеството: $$ \binom{5}{3} = 10 \text{ комбинации} $$

Списък на всички комбинации и техните сборове:
1. (0, 2, 4) → 6
2. (0, 2, 6) → 8
3. (0, 2, 8) → 10
4. (0, 4, 6) → 10
5. (0, 4, 8) → 12 ✅
6. (0, 6, 8) → 14
7. (2, 4, 6) → 12 ✅
8. (2, 4, 8) → 14
9. (2, 6, 8) → 16
10. (4, 6, 8) → 18
Само (0,4,8) и (2,4,6) имат сбор 12.

🔹 Стъпка 2: От тези комбинации създаваме трицифрени числа, без водеща 0
Комбинация (0, 4, 8):
Всички пермутации: $$3! = 6$$ Само тези с първа цифра ≠ 0 са валидни:
048 ❌
084 ❌
408 ✅
480 ✅
804 ✅
840 ✅
4 валидни трицифрени числа

Комбинация (2, 4, 6): Всички $$3! = 6$$ пермутации са валидни, защото няма 0:
246, 264, 426, 462, 624, 642 ⇒ 6 валидни

🔸 Общо валидни трицифрени числа: $$ 4 + 6 = 10 $$

🔹 Стъпка 3: От тези 10 — кои са делими на 15? Число се дели на 15 ⇔ дели се на 3 и на 5

✅ Делимост на 3: Всички 10 числа са с цифри, чиито сбор е 12 ⇒ делят се на 3 ✅
✅ Делимост на 5: Числото трябва да завършва на 0 или 5
Проверяваме: От (0,4,8):
408 ✅
480 ✅
804 ❌
840 ✅
→ от тях 480 и 840 завършват на 0 ⇒ делят се на 5
→ тези **две** са делими на 15
От (2,4,6) никое не завършва на 0 или 5 ⇒ никое не се дели на 5

🔸 Общ брой числа делими на 15: 2

🔸 Общо валидни числа: 10

✅ Вероятност: $$ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$

За да решим тази задача, ще трябва да преброим всички трицифрени числа, които отговарят на условието и след това да определим кои от тях се делят на 15.

Стъпка 1: Определете четните цифри Четните цифри са: (0, 2, 4, 6, 8).

Стъпка 2: Намерете всички комбинации на трицифрени числа с различни четни цифри, чийто сбор е 12
Използваме следните трицифрени числа с различни четни цифри, които отговарят на условието:
1. (0 + 4 + 8 = 12) Възможни комбинации: (408, 480, 804, 840)
2. (2 + 6 + 4 = 12) Възможни комбинации: (246, 264, 436, 462, 624, 642)

Стъпка 3: Проверете кои от тези числа се делят на 15
Числото се дели на 15 ако се дели както на 3, така и на 5. Това означава, че сумата на цифрите трябва да е кратна на 3 (вече разгледано) и числото трябва да завършва на 0 или 5.
От горните комбинации:
480 завършва на 0, сумата на цифрите е 12 (кратно на 3)
840 завършва на 0, сумата на цифрите е 12 (кратно на 3).

Стъпка 4: Изчислете вероятността
Общия брой на трицифрените числа, които отговарят на условието е 10. Две от тях се делят на 15. Следователно вероятността е: \[ \text{Вероятност} = \frac{\text{брой числа, които се делят на 15}}{\text{общ брой на възможните числа}} = \frac{2}{10} = 0.2 \] Така че вероятността това число да се дели на 15 е \(0.2\) или \(20\%\).