В кутия има: 4 бели топки, 6 черни топки и 8 зелени топки. Каква е вероятността три случайно извадени топки от кутията да са с еднакъв цвят?
Приемен изпит (СУ): 02.04.2023 (Задача 7)
Насоки за решение
1. Общо възможни начини да избереш 3 топки от всички налични — използвай формулата за биномни коефициенти: $$\binom{n}{3}$$
където \[n\] е общият брой топки.
2. Благоприятни случаи: намери по колко начина могат да се изберат 3 топки от един и същи цвят — направи това поотделно за белите, черните и зелените (само когато това е възможно — т.е. когато има поне 3 от даден цвят).
3. Вероятност:
$$
P = \frac{\text{Благоприятни}}{\text{Всички}}
$$
Подробно решение
Общо:
$$
4 + 6 + 8 = 18 \text{топки}
$$
Изтегляме на случаен принцип 3 топки. Търси се вероятността и трите да са от един и същи цвят.
✅ Стъпка 1: Общо възможни начини да изтеглим 3 топки от 18:
\[
\binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6} = 816
\]
✅ Стъпка 2: Благоприятни случаи (три топки от един и същи цвят)
🎯 (а) 3 бели топки (от 4):
$$
\binom{4}{3} = 4
$$
🎯 (б) 3 черни топки (от 6):
$$
\binom{6}{3} = 20
$$
🎯 (в) 3 зелени топки (от 8):
$$
\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56
$$
🔢 Общо благоприятни:
$$
4 + 20 + 56 = 80
$$
✅ Стъпка 3: Вероятност
$$
P = \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51}
$$
✅ Отговор:
$$
\boxed{\frac{5}{51}}
$$
Това е вероятността трите изтеглени топки да бъдат с еднакъв цвят.
Chat GPT
Нека решим задачата стъпка по стъпка.
🧾 Дадено:
- 4 бели топки
- 6 черни топки
- 8 зелени топки
Общо: 4+6+8=18 топки4 + 6 + 8 = 18 $$text{ топки}$$
Изваждаме три топки на случаен принцип. Търсим вероятността и трите да са с еднакъв цвят.
✅ Общ брой възможни начини да изтеглим 3 топки от 18:
$$\binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6} = 816$$
✅ Благоприятни случаи — всички топки са с един и същ цвят:
➤ Три бели (от 4):
$$\binom{4}{3} = 4$$
➤ Три черни (от 6):
$$\binom{6}{3} = 20$$
➤ Три зелени (от 8):
$$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$$
✅ Общо благоприятни случаи:
$$4 + 20 + 56 = 80$$
📊 Вероятност:
$$P = \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \boxed{\frac{5}{51}}$$
🎯 Отговор:
$$\boxed{\frac{5}{51}}$$
Това е вероятността три случайно изтеглени топки да са с еднакъв цвят.
DeepSeek
За да намерим вероятността три случайно извадени топки да са с еднакъв цвят, ще следваме следните стъпки:
1. **Общ брой топки в кутията:**
– Бели: 4
– Черни: 6
– Зелени: 8
– **Общо:** 4 + 6 + 8 = 18 топки
2. **Брой начини за изваждане на 3 топки от всички (комбинации):**
Използваме формулата за комбинации без повторение:
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}$$
Тук \( n = 18 \), \( k = 3 \):
$$\binom{18}{3} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$$
**Общо възможни изходи:** 816
3. **Благоприятни изходи (3 топки с еднакъв цвят):**
– **3 бели:** \( C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 \)
(Само 4 бели топки, не може повече)
– **3 черни:** \( C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20 \)
– **3 зелени:** \( C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56 \)
– **Общо благоприятни:** \( 4 + 20 + 56 = 80 \)
4. **Вероятност:**
\[
P = \frac{\text{Благоприятни изходи}}{\text{Общо изходи}} = \frac{80}{816} = \frac{5}{51}
\]
Опростена дроб: \(\frac{80 \div 16}{816 \div 16} = \frac{5}{51}\).
**Окончателен отговор:**
\[
\boxed{\dfrac{5}{51}}
\]
Mistral AI
Да намерим вероятността три случайно извадени топки от кутията да са с еднакъв цвят.
1. Общ брой топки
Имаме общо (4 + 6 + 8 = 18) топки в кутията.
2. Общ брой начини за извличане на 3 топки
Броят на начините за извличане на 3 топки от 18 се изчислява с формулата за комбинации:
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
където (n = 18) и (k = 3):
$$
C(18, 3) = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816
$$
3. Благоприятни случаи
Трябва да намерим броя на начините за извличане на 3 топки от един и същ цвят.
- Бели топки: Броят на начините за извличане на 3 бели топки от 4 е:
$$
C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4
$$ - Черни топки: Броят на начините за извличане на 3 черни топки от 6 е:
$$
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20
$$ - Зелени топки: Броят на начините за извличане на 3 зелени топки от 8 е:
$$
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56
$$
4. Общ брой благоприятни случаи
Общият брой благоприятни случаи е сумата от горните комбинации:
\[
4 + 20 + 56 = 80
\]
5. Вероятност
Вероятността трите извадени топки да са с еднакъв цвят е:
\[
\frac{80}{816} = \frac{5}{51} \approx 0.098
\]
Така, вероятността е приблизително (9.8\%).
DeepAI Math AI
Разбирам, че искаш да изчислим вероятността три случайно извадени топки от кутията да са с еднакъв цвят. Нека преминем стъпка по стъпка.
Стъпка 1: Общ брой топки
В кутията имаме:
- 4 бели
- 6 черни
- 8 зелени
Общият брой топки е:
[ 4 + 6 + 8 = 18 ]
Стъпка 2: Общо възможни начини да изберем 3 топки
Това е броят на всички възможни комбинации, с които можем да изберем 3 топки от 18. Това се изчислява с формулата за комбинации:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Тук:
[ C(18, 3) = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 ]
Това е общият брой начини да изберем 3 топки.
Стъпка 3: Брой начини да изберем 3 топки с един цвят
Трябва да изберем 3 топки от един цвят, като:
- за бели: можем да изберем всички 3, ако има поне 3 бели (а имаме само 4, така че е възможно):
[ C(4, 3) = 4 ] - за черни: имаме 6 черни топки:
[ C(6, 3) = 20 ] - за зелени: имаме 8 зелени топки:
[ C(8, 3) = 56 ]
Стъпка 4: Общ брой начини за три топки с един цвят
Общият брой начини да изберем три топки с еднакъв цвят е сума на всички тези случаи:
[ 4 + 20 + 56 = 80 ]
Стъпка 5: Вероятност
Вероятността три случайно извадени топки да са с един цвят е:
[ \text{Вероятност} = \frac{\text{брой благоприятни случаи}}{\text{общ брой възможни случаи}} = \frac{80}{816} ]
Можем да опростим дробта:
[ \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51} ]
Отговор:
Вероятността три случайно извадени топки да са с един цвят е (\frac{5}{51}).
Ако имаш въпроси или искаш още обяснения, не се колебай да питаш!
YesChat.AI
Да решим задачата стъпка по стъпка: ### Стъпка 1: Общо количество топки В кутията има общо: – 4 бели топки, – 6 черни топки, – 8 зелени топки. Общо топки = 4 + 6 + 8 = **18 топки**. ### Стъпка 2: Броят на възможните изваждания на 3 топки Броят на всички възможни начини, по които можем да извадим 3 топки от общо 18 е даден от комбинацията: \[ C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 \] ### Стъпка 3: Броят на благоприятните изваждания (с три топки с един и същ цвят) Това означава, че всички три топки трябва да са от един и същи цвят. Ще разгледаме поотделно всяка възможност: #### 1. Три бели топки: От 4 бели топки можем да изберем 3 по следния начин: \[ C(4, 3) = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 \] #### 2. Три черни топки: От 6 черни топки можем да изберем 3 по следния начин: \[ C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] #### 3. Три зелени топки: От 8 зелени топки можем да изберем 3 по следния начин: \[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] ### Стъпка 4: Общ брой благоприятни изваждания Общият брой благоприятни изваждания е сумата от броя на възможностите за всяка от трите категории топки: \[ 4 \, (\text{бели}) + 20 \, (\text{черни}) + 56 \, (\text{зелени}) = 80 \] ### Стъпка 5: Вероятност Накрая, вероятността да извадим 3 топки с един и същ цвят е: \[ P = \frac{\text{благоприятни изваждания}}{\text{всички възможни изваждания}} = \frac{80}{816} \] Можем да опростим дробта: \[ P = \frac{10}{102} \] или приблизително: \[ P \approx 0.098 \] Така че вероятността три случайно извадени топки да са с еднакъв цвят е **около 9.8%**.